Matemática básica Ejemplos

$\frac{a - 2}{a - 1} + \frac{a + 3}{a + 2} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 1

Para escribir $\frac{a - 2}{a - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{a - 2}{a - 1} \cdot \frac{a + 2}{a + 2} + \frac{a + 3}{a + 2} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 2

Para escribir $\frac{a + 3}{a + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a - 2}{a - 1} \cdot \frac{a + 2}{a + 2} + \frac{a + 3}{a + 2} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a - 1) (a + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{a - 2}{a - 1}$ por $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(a - 1) (a + 2)} + \frac{a + 3}{a + 2} \cdot \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{a + 3}{a + 2}$ por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(a - 1) (a + 2)} + \frac{(a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(a - 1) (a + 2)$ .

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{(a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(a - 2) (a + 2) + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(a - 2) (a + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (a + 2) - 2 (a + 2) + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 2 - 2 (a + 2) + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 2 - 2 a - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.2

Combina los términos opuestos en $a \cdot a + a \cdot 2 - 2 a - 2 \cdot 2$ .

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en los términos $a \cdot 2$ y $- 2 a$ .

$\frac{a \cdot a + 2 a - 2 a - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.2.2

Resta $2 a$ de $2 a$ .

$\frac{a \cdot a + 0 - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.2.3

Suma $a \cdot a$ y $0$ .

$\frac{a \cdot a - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} - 2 \cdot 2 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.3.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{a^{2} - 4 + (a + 3) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.4

Expande $(a + 3) (a - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 4 + a (a - 1) + 3 (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 3 (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 4 + a \cdot a + a \cdot - 1 + 3 a + 3 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} + a \cdot - 1 + 3 a + 3 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.5.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} - 1 \cdot a + 3 a + 3 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.5.1.3

Reescribe $- 1 a$ como $- a$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} - a + 3 a + 3 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.5.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} - a + 3 a - 3}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.5.2

Suma $- a$ y $3 a$ .

$\frac{a^{2} - 4 + a^{2} + 2 a - 3}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.6

Suma $a^{2}$ y $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} - 4 + 2 a - 3}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 5.7

Resta $3$ de $- 4$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 6

Para escribir $\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} + \frac{a + 1}{a - 3}$

Paso 7

Para escribir $\frac{a + 1}{a - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)}$ .

$\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} + \frac{a + 1}{a - 3} \cdot \frac{(a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)}$

Paso 8

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + 2) (a - 1) (a - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{2 a^{2} + 2 a - 7}{(a + 2) (a - 1)}$ por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)} + \frac{a + 1}{a - 3} \cdot \frac{(a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{a + 1}{a - 3}$ por $\frac{(a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1)}$ .

$\frac{(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)} + \frac{(a + 1) ((a + 2) (a - 1))}{(a - 3) ((a + 2) (a - 1))}$

Paso 8.3

Reordena los factores de $(a - 3) ((a + 2) (a - 1))$ .

$\frac{(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)} + \frac{(a + 1) ((a + 2) (a - 1))}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3) + (a + 1) ((a + 2) (a - 1))}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Expande $(2 a^{2} + 2 a - 7) (a - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{2 a^{2} a + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 10.2.1.1

Mueve $a$ .

$\frac{2 (a \cdot a^{2}) + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $a$ por $a^{2}$ .

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Paso 10.2.1.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (a^{1} a^{2}) + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 a^{1 + 2} + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 a^{3} + 2 a^{2} \cdot - 3 + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a \cdot a + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2.3

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 10.2.3.1

Mueve $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 (a \cdot a) + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a^{2} + 2 a \cdot - 3 - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a^{2} - 6 a - 7 a - 7 \cdot - 3 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.2.5

Multiplica $- 7$ por $- 3$ .

$\frac{2 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a^{2} - 6 a - 7 a + 21 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.3

Suma $- 6 a^{2}$ y $2 a^{2}$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 6 a - 7 a + 21 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.4

Resta $7 a$ de $- 6 a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a + 1) (a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.5

Expande $(a + 1) (a + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a (a + 2) + 1 (a + 2)) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a \cdot a + a \cdot 2 + 1 (a + 2)) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a \cdot a + a \cdot 2 + 1 a + 1 \cdot 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 10.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.6.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + a \cdot 2 + 1 a + 1 \cdot 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.6.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + 2 \cdot a + 1 a + 1 \cdot 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.6.1.3

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + 2 a + a + 1 \cdot 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + 2 a + a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.6.2

Suma $2 a$ y $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + (a^{2} + 3 a + 2) (a - 1)}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.7

Expande $(a^{2} + 3 a + 2) (a - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{2} a + a^{2} \cdot - 1 + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8

Simplifica cada término.

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Paso 10.8.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 10.8.1.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

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Paso 10.8.1.1.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot - 1 + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{2 + 1} + a^{2} \cdot - 1 + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} + a^{2} \cdot - 1 + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - 1 \cdot a^{2} + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8.3

Reescribe $- 1 a^{2}$ como $- a^{2}$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 a \cdot a + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8.4

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 10.8.4.1

Mueve $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 (a \cdot a) + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8.4.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 a^{2} + 3 a \cdot - 1 + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 a^{2} - 3 a + 2 a + 2 \cdot - 1}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.8.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} - a^{2} + 3 a^{2} - 3 a + 2 a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.9

Suma $- a^{2}$ y $3 a^{2}$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} + 2 a^{2} - 3 a + 2 a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.10

Suma $- 3 a$ y $2 a$ .

$\frac{2 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + a^{3} + 2 a^{2} - a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.11

Suma $2 a^{3}$ y $a^{3}$ .

$\frac{3 a^{3} - 4 a^{2} - 13 a + 21 + 2 a^{2} - a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.12

Suma $- 4 a^{2}$ y $2 a^{2}$ .

$\frac{3 a^{3} - 2 a^{2} - 13 a + 21 - a - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.13

Resta $a$ de $- 13 a$ .

$\frac{3 a^{3} - 2 a^{2} - 14 a + 21 - 2}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$

Paso 10.14

Resta $2$ de $21$ .

$\frac{3 a^{3} - 2 a^{2} - 14 a + 19}{(a + 2) (a - 1) (a - 3)}$